[수학] 극대와 극소

극대와 극소

미적분 I 를 공부하다가 극대와 극소에서 짜증이 났기 때문에 잠깐 정리해본다.

EBS 미적분 강의 기준으로 미분가능한 함수 f(x)에 대하여 f'(a) = 0 이고 x = a의 좌우에서 f'(x)의 부호가

1. 양에서 음으로 바뀌면 f(x)는 x = a 에서 극대이다.
2. 음에서 양으로 바뀌면 f(x)는 x = a 에서 극소이다.

또한 x = a 에서 미분가능하지 않더라도 x = a 를 포함하는 구간의 모든 x에 대하여

1. f(x) <= f(a) 가 되는 구간이 존재하면 f(x) 는 x = a 에서 극댓값을 갖는다.
2. f(x) >= f(a) 가 되는 구간이 존재하면 f(x) 는 x = a 에서 극솟값을 갖는다.

솔직히 이렇게 말하면 무슨 뜻인지 모를 것이다.
위 두 정의를 그래프로 그려 보면 다음과 같은 모양을 그린다.

단순히 말해 극대와 극소는 주변부에서 튀어나온 extreme한 값이며 낮아지다가 올라가는 골이 local minimum이고 곧 극소, 올라가다가 낮아지는 마루는 local maximum, 즉 극대를 말한다. 또한 극대와 극소를 통틀어 극값(local extremum) 이라고 한다.